函数连续偏导数不一定存在。因为偏导数存在只能保证函数在某个方向上是连续的，比如关x连续，关y连续，但是实际上，多元函数连续，其极限手段比较复杂比较多，可能是四面八方各个方向。
函数y=f(x)当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的;又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的，对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，可用极限给出严格描述:设函数y=f(x)在x0点附近有定义，如果有lim(x->x0)f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续，此时，它在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。
